Introduzione
Lo stato di un oggetto fisico, macroscopico o microscopico è la base quindi da cui partire per formalizzare matematicamente l’evoluzione dei fenomeni. Esso è centrale nella generale teoria classica dei sistemi come nella meccanica quantistica (da qui innanzi MQ).
Fermiamoci a illustrare le proprietà di alcuni oggetti del mondo macroscopico e microscopico, un aperitivo scientifico prima di assaggiare il piatto forte proposto dall’autore di questo viaggio.
Consideriamo un fenomeno esito dell’interazione di molti costituenti che interagiscono tra loro come una corrente elettrica, la radiazione luminosa e la forza gravitazionale. È possibile spiegare questi fenomeni dalle relazioni tra proprietà collettive che chiamiamo grandezze fisiche macroscopiche. Ad esempio misuriamo gli Ampère di corrente in un determinato ramo di un circuito elettrico, misuriamo i Watt dell’intensità della luce solare che colpisce una superficie, misuriamo i Newton di forza tra due corpi massivi che interagiscono come accade tra la Terra e un qualsiasi corpo in caduta libera e potremmo proseguire Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
con tanti altri esempi. Ampère, Watt e Newton sono nomi di tre uomini che hanno contribuito in modo rilevante a chiarire il ruolo delle tre grandezze fisiche all’interno delle leggi del circuito elettrico, della trasformazione dell’energia in lavoro e della meccanica dell’equilibrio e del movimento. Il movimento più celebre, e che incontreremo nel prossimo paragrafo è quello del pendolo, un cuore meccanico che ci introduce all’enigma del tempo.
Nel mondo microscopico sono state studiate le proprietà di innumerevoli costituenti elementari. Ne citiamo tre tra i più popolari entrati nel linguaggio comune: l’elettrone, il protone e il fotone. L’elettrone è una particella elementare di cui sappiamo misurare la carica elettrica e la massa, il protone ha carica opposta a quella dell’elettrone ma una massa molto maggiore, al fotone associamo due grandezze fisiche che ne definiscono la sua natura duale come la lunghezza d’onda e il pacchetto di energia propria di un corpuscolo. Il numero di elettroni differenzia la materia dal punto di vista chimico, accelerati negli anelli di luce di sincrotrone producono radiazione di frequenza altissima che ci permette di scrutare dettagli della struttura della materia di grande utilità per l’industria, flussi di elettroni accelerati dai campi elettrici producono le familiari correnti elettriche che producono luce nei vari tipi di lampade e fanno funzionare le macchine elettriche domestiche e industriali. I fasci di protoni accelerati vengono utilizzati in ingegneria elettromedicale nei piani di trattamento Appunti di viaggio nella fisica moderna adroterapici. E per ultimo i fotoni, campi elettromagnetici molto confinati dotati della proprietà di venire polarizzati e che nella banda del visibile colpiscono la retina permettendoci di godere dei colori della natura e delle cose e che con la loro energia quantizzata stimola la produzione di melanina che dona alla nostra pelle quell’adorabile color bruno dorato.
1 Il concetto di sistema e classificazione dei sistemi.
L’osservazione del mondo reale ci porta a individuare insiemi di cose che hanno in comune delle proprietà. Dato un insieme è importante stabilire un criterio di appartenenza che ci permetta univocamente di inserire un elemento dentro o esternamente all’insieme. Il criterio di appartenenza è la condivisione di proprietà. Per un inizio soft possiamo pensare di costruire un algoritmo da implementare in un elaboratore che combini con una funzione random le parole dell’alfabeto del vocabolario italiano in tutte le possibili combinazioni. Il risultato sarà un insieme formato da una sequenza finita di stringhe. Il criterio a cui sottoporre una stringa di lettere sarà allora semplicemente di escludere tutte quelle che contengono lettere diverse da quelle scelte per la combinazione.
Ad esempio scegliamo le seguenti quattro lettere ‘c, e, a, n e ’ che combinate in tutti i modi danno luogo alle seguenti stringhe: Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
[cnea, cnae cean ncea cena ncae neca neac nace naec ecna cane ecan enac acen ance anec aenc eacn acne aenc eanc caen, enca].
Il criterio di appartenenza in questo esempio è di esclusione: di tutte le stringhe formate con le quattro lettere ’ c, a, n, e ’ verranno escluse quelle che contengono almeno una lettera diversa o lettere ripetute di una o più delle quattro scelte per le combinazioni.
Un altro criterio può essere quello di selezionare, data una stringa di lettere, le parole che hanno significato nella lingua italiana. È chiaro che il criterio è di tipo semantico e si tradurrà a verificare automaticamente se il computer trova una uguaglianza tra la stringa e una delle parole del vocabolario della lingua italiana. Nell’esempio il criterio estrarrebbe un insieme costituito dalle seguenti parole:
[cena, cane, acne].
Riassumendo. Nel primo esempio il criterio di appartenenza seleziona di tutte le stringhe quelle che sono costruite con le quattro lettere selezionate, nel secondo di tutte le stringhe costruite con le quattro lettere selezionate il criterio seleziona parole della lingua italiana. Nel primo insieme le stringhe godono della proprietà di essere formate con le lettere selezionate escluse tutte le altre ottenute sostituendo alle quattro altre lettere e tutte le stringhe con lettere ripetute; nel secondo le stringhe hanno la proprietà di appartenere al vocabolario della lingua italiana. Il primo insieme è costituito da ventiquattro elementi e il secondo da tre. Appunti di viaggio nella fisica moderna
E tanto per prendere dimestichezza con i costituenti elementari consideriamo tutti i fotoni che escono da una fonte luminosa. Di essi selezioniamo quelli che superano il test di attraversamento di un cristallo con polarizzazione verticale. La proprietà dei fotoni che superano il test sarà allora la polarità verticale del loro campo elettromagnetico.
Se al concetto di insieme e elemento dell’insieme aggiungiamo quello di funzione si ottiene quello di sistema. La funzione di sistema è un concetto intuitivo che attribuisce a un insieme uno scopo.
Possiamo richiamare il concetto di funzione prendendo in considerazione le quaranta carte da gioco con semi, ad esempio, del mazzo delle italiane, Il criterio è evidente definito il numero delle carte nel mazzo: quaranta. Appartiene all’insieme delle carte da gioco la carta che possiede uno dei semi italiani e non è doppia nel mazzo da quaranta carte1.
Per giocare bisogna associare alle carte una ‘regola’, altro nome che sostituisce quello di funzione. Il gioco della briscola ha la sua regola, quello della scopa un’altra e quella del tresette un’altra ancora2.
Dopo aver definito il sistema viene la necessità di quantificare le proprietà dei componenti, ovvero i valori da attribuire ai ‘contenitori’ detti variabili. Sempre con richiamo al gioco, nella briscola, ad esempio, vengono attribuiti alle carte i seguenti valori: ASSO 11 punti, RE 4 punti, cavallo 3 punti, fante 2 punti; tutte le altre 0 punti. Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
Possiamo suddividere i sistemi in due grandi classi, fisici e astratti, e due sottoclassi, analogici e discreti. A loro volta le sottoclassi dividono i sistemi in deterministici e stocastici.
Sistemi fisici e astratti. Nei sistemi fisici le variabili sono grandezze fisiche quantificabili con una misura, nei sistemi astratti le variabili sono semplicemente valutabili. I sistemi fisici sono un sottoinsieme dei sistemi astratti in quanto se una grandezza fisica quantificabile è anche valutabile. Gli esercizi di fisica che si svolgono a scuola agiscono su modelli che sono tipicamente dei sistemi astratti. I valori che si ricavano dal florilegio di formule sono valutazioni che vanno riscontrate sul valore ottenuto dalle misure sul sistema fisico.
Sistemi analogici e digitali. Se in un sistema fisico o astratto i valori delle variabili sono messe in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme dell’insieme dei numeri reali il sistema è incluso nella classe dei sistemi continui e i valori vengono rappresentati su una retta; se i valori delle variabili sono messe in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme di numeri naturali allora il sistema appartiene alla classe dei sistemi discreti e i valori vengono rappresentati da una linea di punti separati da intervalli vuoti.
Tutti gli strumenti provvisti di indice sono continui in quanto l’indicatore della misura percorre tutto un intervallo di numeri reali con la potenza del continuo. Invece gli strumenti che indicano la misura su un visualizzatore sono digitali perché le indicazioni, per quanto Appunti di viaggio nella fisica moderna numerosissime, sono finite e discrete, ovvero in corrispondenza biunivoca con un intervallo di numeri naturali (1,2,3,…..n), con n rande quanto si vuole.
Sistemi deterministici e stocastici. Nei sistemi deterministici la funzione riporta le variabili, dopo averle reinizializzate ai medesimi valori precedenti, sempre ai medesimi valori. Nei sistemi stocastici l’evoluzione delle variabili, dopo averle reinizializzate ai medesimi valori precedenti, non conduce al medesimo risultato.
Tutti i sistemi fisici macroscopici sono regolati da leggi deterministiche e lo sono anche i giochi di abilità Lo sono certamente i giochi con le quaranta carte ma anche quelli che apparentemente sembrano condurre a risultati casuali. Ad esempio il bigliardo, il tiro a segno, etc sono di natura deterministica in quanto le variabili indipendenti (i punteggi associati ad ogni boccia, palla da bigliardo o settore della mostra del tiro al bersaglio) hanno valori conosciuti a priori. Lo scostamento da questi valori non sono dovuti a ‘scalogna, termine popolare che sostituisce quello di caso, ma a mancanza di abilità. Un giocatore molto abile sa reinizializzarsi con precisione, prima di prendere la mira e un automa ancora meglio riuscirebbe a centrare il pieno punteggio un numero illimitato di volte.
I sistemi stocastici entrano da protagonisti assoluti nelle narrazioni della MQ e pertanto è opportuno soffermarsi con un esempio. Il gioco Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico dei dadi è un classico, e scusate l’ossimoro, sistema stocastico o probabilistico3.
La variabile è la faccia del dado che può assumere uno dei ‘1 su 6’ valori del tutto casualmente. Con questo si vuole stressare il concetto nei seguenti termini: l’inizializzazione della funzione ‘lancio del dado’ può essere precisa quanto si vuole, posizione ,altezza, temperatura ambiente, condizione dell’aria … e insomma tutto quanto si può controllare con precisione assoluta, ma il risultato precedente non si ripeterà nel 100% delle ripetizioni dei lanci ma tendendo il numero di lanci all’infinito la probabilità di leggere sempre la medesima faccia si approssima a 1/6. Amen.
Il concetto di stato di un sistema fisico.
Nel linguaggio comune con il termine stato ci si riferisce alla condizione in cui troviamo cose o persone. Con questo termine isoliamo alcune proprietà come quando chiediamo a una persona: «Come stai?» o quando constatiamo che la strumentazione di laboratorio si trova ‘in cattivo stato’. Nel primo caso ci riferiamo all’umore o alla salute e nel secondo alla funzione della cosa compromessa dall’uso.
Se invece ricorriamo alla definizione di stato di un oggetto fisico allora bisogna richiamare il concetto di sistema e completarlo dando ad esso una veste matematica rigorosa. Appunti di viaggio nella fisica moderna n generale lo stato di un sistema fisico è l’insieme delle proprietà che possiamo attribuire ad esso. In MQ si precisa che le proprietà devono essere attribuite con certezza al sistema (criterio di realismo). Lo stato è una struttura matematica chiamata vettore costituita in generale da un insieme di n variabili dette variabili di stato.:
S = [vs(1), vs(2), vs(3), … vs(n)]. (2.1)
Le variabili di stato devono essere indipendenti e dipendere solo dal tempo t che nella teoria dei sistemi è sempre una variabile indipendente che conferisce un ordine per gli eventi del sistema4.
Se ci limitiamo alla dimensione n = 3 il vettore di stato può essere visualizzato nel consueto piano cartesiano. Supposto che il piano cartesiano sia individuato da una base di tre versori ortogonali. La forma (2.1) aggiornata alla metrica del piano euclideo della normale geometria è la seguente:
Figura 2.1 modello a blocchi I – X – Y
= [vs(1)., vs(2), vs(3)]. (2.2)
La direzione di si trova con la consueta regola della composizione5.
Il concetto di stato matematicamente inquadrato in spazi astratti si presta molto bene a descrivere il funzionamento degli automi che sono Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico una particolare classe di sistemi deterministici e discreti. L’evoluzione degli stati negli automi viene descritto da due equazioni caratteristiche: la funzione della transizione di stato e la funzione di trasformazione di uscita6.
La successione degli stati negli automi sono sempre finiti.
Il modello generale di un automa a stati finiti mette in relazione la funzione di ingresso ‘I’ con lo stato ‘X’ e l’uscita ‘Y’. Il grafico è descritto in figura 2.1. In generale le due funzioni si scrivono:
; (2.4)
e
(2.5)
La prima permette di valutare lo stato all’istante i e lo aggiorna in memoria all’istante successivo i + 1 noto il valore della funzione di entrata all’istante. La seconda evidenza come l’uscita in un certo istante dipenda solo dallo stato e dall’ingresso nello steso istante. Il blocco segnato con un triangolo nei sistemi fisici è costituito da accumulatori di energia7. La relazione I – X – Y si può ricondurre alla scrittura di algoritmi. Gli automi privi di memoria si riducono alla (2.5) e una relazione di tipo diretto I – Y può ricondursi a relazione di tipo algebrico. Per entrambe risulta comoda la rappresentazione tabellare premessa al trattamento del funzionamento di un automa con l’algebra delle matrici. Appunti di viaggio nella fisica moderna. Un tipico esempio regolato dal modello di figura 2.1 è il distributore delle bevande in bottiglia, totem della società consumistica. L’input I è fornito dalle monetine, lo stato X è il magazzino di bevande del distributore (la memoria del sistema che viene continuamente aggiornata) e l’uscita Y è la bevanda selezionata.
Un sistema di questo tipo è deterministico e discreto.
Un sistema microscopico è invece sempre rappresentabile dal semplice modello I – Y (vedi figura 2.2). Ad esempio un fotone polarizzato a 45° sottoposto a test di polarizzazione attraverso un filtro tagliato a 90° darà istantaneamente un esito. Il risultato del test è probabilistico e in questo caso conosciamo la probabilità a priori: 50% verranno polarizzati verticalmente (H) e 50% orizzontalmente (O). Un Sistemi sistema di questo tipo sono classificabili tra i sistemi fisici discreti privi di memoria e stocastici. Ci soffermeremo in seguito sulla natura della probabilità di un sistema microscopico sottoposto a processo di misura. La estrema semplicità del modello di figura 2.2 non deve trarre in inganno. La trasformazione in I – Y in MQ è chiamata collasso della funzione d’onda e costituisce un banco di prova interpretativo su cui sono impegnate le menti più acute.
Figura 2.2 modello a blocchi I – Y Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
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3 Esempi di stato in sistemi fisici continui e discreti. Per comprendere il potere descrittivo del vettore di stato consideriamo due esempi di sistemi fisici deterministici: il sistema continuo pendolo e il sistema discreto BiT (Binary digiT).
Scegliamo il pendolo semplice rigido a campione dei sistemi fisici deterministici, continui e lineari:. Il funzionamento del pendolo è completamente descritto da due variabili di stato: l’elongazione ‘s’, spezzata nella metà a destra e metà a sinistra dell’oscillazione e la velocità ‘vs’.
La lunghezza di s varierà da un massimo a cui attribuiamo valore positivo da C verso B (spostamento antiorario + s) e un massimo negativo da C verso A (spostamento orario – s). La velocità sarà nulla in A e B, nell’istante in cui il moto inverte la direzione da orario ad antiorario in A e viceversa in B e nell’istante in cui la massa oscillante passa in C possiederà la massima velocità. Non possiamo ignorare la direzione della velocità che nei due mezzi periodi di oscillazione cambia il verso puntando verso B e verso A (vedi figura 3.1). Il vettore di stato del nostro pendolo è composto da due componenti:
Figura 3.1 pendolo semplice
S = [vs(1), vs(2)] (3.1) Appunti di viaggio nella fisica moderna
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con vs(1) = s(t), vs(2) = vs(t) posizione e velocità che sono grandezze che in MQ si dicono coniugate8. La loro evoluzione è meglio descritta nello spazio delle fasi che sostituisce quello euclideo. Se escludiamo ogni resistenza che smorzerebbe il moto il grafico descritto nello spazio delle fasi è genericamente un’ellisse. Infatti un pendolo ideale che non dissipa energia a causa delle inevitabili frizioni non ha bisogno di apporto di energia e la traiettoria delle variabili posizione e velocità descrivono una linea chiusa che si ripete ciclicamente con il periodo proprio del pendolo (vedi Figura 3.2). In un certo senso esso si autosostiene come la combustione. Nella combustione la fiamma si autosostiene combinando chimicamente carbonio e ossigeno, nel pendolo il ciclo di oscillazione si mantiene convertendo energia di posizione (potenziale gravitazionale di caduta) in energia di movimento (cinetica). La fiamma si spegne per carenza di combustibile mentre le oscillazioni del pendolo si smorzano fino a cessare a causa dell’esaurimento di energia gravitazionale per la caduta di quota dovuto ai processi dissipativi (attriti dell’aria, nel giunto di rotazione e nelle vibrazioni della struttura di sostegno). In pendoli di grande
Figura 3.2 oscillazioni non smorzate Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
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precisione tenuti in campane sottovuoto il grafico nello spazio delle fasi potrebbe essere mantenuto per anni, secoli, millenni.
Realisticamente nei comuni pendoli lo scostamento dall’ellisse ideale avviene dopo un tempo ‘umano’ e il grafico, dopo un numero più o meno grande di oscillazioni, raggiunge l’origine degli assi. Uno schema di principio è raffigurato in figura 3.3 dove l’arresto avviene dopo poche oscillazioni.
Il BiT (da qui innanzi scriveremo bit) fisicamente è costituito da tutti i sistemi la cui unica variabile di stato ha due valori: un interruttore aperto/chiuso o off/on), un condensatore (carico/scarico), un transistor polarizzato, una valvola pneumatica (chiusa(aperta), etc.
All’unità di informazione bit sono stati attribuiti due significati, quello informatico di cifra binaria e quello di misura della quantità di informazione. Per gli scopi del nostro lavoro ci riferiamo al processo elaborativo e pertanto attribuiamo al bit il significato di contenitore della cifra binaria. L’informazione è un dato astratto che riferiamo alle due cifre 0 e 1 incorporata in costituenti fisici. Nell’elaboratore digitale convenzionale che troviamo sulla nostra scrivania – che chiameremo
Figura 3.3 oscillazioni smorzate Appunti di viaggio nella fisica moderna
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classico – essa viene immagazzinata come grandezza fisica tensione elettrica corrispondente a due distinti livelli.
Il vettore di stato si riduce a una sola variabile:
(3.2)
il cui contenuto può assumere solo due valori:.
La variabile di stato di (3.2) può assumere sono due valori e per questa viene chiamata binaria: , mentre la funzione di ingresso è una sequenza lunga quanto si vuole di stringhe di 0 e 1, ad esempio: it(i) = [0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, …1] con t l’istante di tempo in cui viene forzata la transizione di stato. La semplice struttura matematica del bit (3.2) può essere eseguita da un sistema fisico che ha memoria dello stato precedente e pertanto il modello o è del tipo I – X – U (figura 2.1),
Se il bit fisico è un transistor polarizzato i due valori corrispondono ai due livelli basso e alto: La presenza della memoria si giustifica in quanto una transizione di stato (combinazione delle transizioni delle due trasformazioni 2.4 e 2.5) dipende dal valore memorizzato precedentemente dal transistor (polarizzato o in interdizione).
Figura 3.4 livelli di tensione nel bit in logica TTL
I due stati fisici sono esclusivi e determinati in differenti istanti di tempo9. In figura 3.4 la transizione di stato avviene o al disotto della soglia VL o sopra la soglia VH. Se l’input L.H cade nella zona grigia il bit Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
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genera un errore. Il vettore bit vive in uno spazio molto semplice a una sola dimensione. La sua funzione può essere matematicamente così rappresentata:
Lo stato del bit è allora descritto dalla combinazione lineare con coefficienti numerici reali ‘a’ e ‘b’ a due valori esclusivi a = 0 o a = 1 e funzione scalare anch’essa a due valori esclusivi: o :
(3.3)
con da cui discende secondo rigore di logica classica che ‘+’ ha significato logico di connettivo ‘o’ esclusivo: se nella (3.3) il coefficiente a = 1 allora b = 0, e viceversa se a = 0 allora segue b =1. Con il linguaggio statistico abbiamo descritto due sfere con raggi uguali rappresentativi del vettore di stato. Sono permessi due soli valori. Inoltre sottoposto il bit a un test si ha la certezza di ottenere uno dei due valori nel 100% dei casi (vedi Figura 3.5). In logica classica emerge il concetto aristotelico del tertium non datur
Figura 3.5 lo stato binario classico rappresentato in una sfera
Lo stato quantico.
Nei primi decenni del secolo scorso sono state gettate le basi della fisica dei quanti. Questo passaggio è avvenuto cercando di interpretare fenomeni non inquadrabili nel contesto della fisica che si conosceva fino allora. In particolare sono storicamente rilevanti gli esperimenti sull’emissione dei corpi neri e sull’effetto Appunti di viaggio nella fisica moderna
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fotoelettrico. Alla fisica quantistica – la old quantum physics che brevemente richiamiamo con fisica quantistica (FQ) che ha portato all’invenzione del transistor e la fisica atomica – segui nella seconda metà del Novecento una discussione sui fondamenti della teoria. Questa seconda parte è chiamata dagli storici quantum mechanics, meccanica quantistica MQ. Il concetto che meglio illustra la portata rivoluzionaria della MQ è quello di stato. L’ente matematico rimane un vettore in uno spazio vettoriale ma la novità sorprendente è che, per tener conto del dualismo onda corpuscolo, richiede l’uso dei numeri immaginari10.
Il modo più semplice per illustrare lo stato quantistico è quello di comprendere l’informazione immagazzinata in un componente elementare, ad esempio lo stato di polarizzazione di un fotone o lo spin di un elettrone. A entrambi questi costituenti possiamo attribuire una variabile di stato binaria: sin SU o spin GIU e stato di polarizzazione ORIZZONTALE (H) o VERTICALE (V).
Se ad esempio scegliamo un fotone possiamo definire una delle sue proprietà che si auto escludono . Un fotone non è però una semplice porta logica il cui vettore di stato può assumere valori scalari. A un costituente microscopico viene associata un vettore di stato rappresentativo di una funzione d’onda e come tutte le funzioni d’onda che si rispettino oltre al valore scalare associamo la fase. Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
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Gli stati del fotone vengono indicati nella notazione di Dirac con |0 > e |1 > e la funzione d’onda :
(4.1)
con il ‘+’ che ha significato non esprimibile nella logica classica in quanto indica una sovrapposizione di stati. I coefficienti a, b sono numeri complessi e hanno il significato di funzioni di probabilità. Sperimentalmente se sottoponiamo a test di polarizzazione otterremo non solo uno dei due stati o con fotoni polarizzati H o V ma anche e e, questo è il fatto clamoroso, , ovvero lo stato indefinibile di sovrapposizione degli stati. Al quadrato dei moduli dei coefficienti è stato attribuito il significato di ampiezza di probabilità e pertanto vi sarà certezza di trovare uno dei due stati una volta effettuata la misura:
Figura 4.1 sfera di Block
(4.2)
La (4.1) e la (4.2) hanno la controparte geometrica in un a sfera (vedi Figura 4.1) dove ad ogni puto corrisponde una coppia di coefficienti espressi nelle coordinate polari11.
Il vettore posizionato in un punto della sfera è l’esito si una misura, nel nostro caso di polarizzazione. La (4.2) mi assicura che un risultato è certo ma del tutto ignoto è lo stato prima della misura ma non perché la Appunti di viaggio nella fisica moderna
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mia conoscenza è limitata ma perché l’ente microscopico si trova in una sovrapposizione di stati e quindi, nel nostro caso, con uno stato di polarizzazione spalmato su tutta la superfice della sfera. Il vettore di stato è un vettore onda di probabilità caratterizzata dalla fase che è la grandezza matematica che marca formalmente la differenza sostanziale tra lo stato quantistico da quello classico12.
La violazione della logica classica appare nel significato del segno + nella (4.1) che non significa ‘o’ e nemmeno ‘e’ ma ‘entrambi.’. Per quanto strana e folle appaia questa conclusione la MQ è sostenuta dalla gran parte dei fisici.
5 Conclusione (provvisoria). Possiamo fissare alcuni paletti dopo aver spuntato alcune riflessioni sul concetto di stato classico e quantistico.
La descrizione e lo studio di oggetti microscopici che vengono portati sul ‘tavolo dello sperimentatore’ e la cui esistenza emerge dagli scambi che avvengono in natura di queste piccole quantità di energia, o quanti di energia, è un compito della MQ
I concetti attorno ai quali si sviluppa il formalismo della MQ è quello di stato e osservabile. Lo stato è la realtà oggettiva corrispondente a un fenomeno fisico percepito mentre osservabile è ogni grandezza fisica della realtà osservata che possa essere sottoposta a misura ma in MQ lo stato ha una struttura completamente diversa da quello classico.
Esperimenti che richiamano uno stato classico sono quelli della cinematica e della dinamica (accelerazioni uniformi su traiettorie lineari Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico e circolari, equilibrio delle forze, dinamica dei fluidi, diffrazione della luce etc) e precedentemente abbiamo esposto come gli stati evolvono nel più classico dei fenomeni: il pendolo. Gli stati dei sistemi fisici classici sono descritti da valori delle osservabili che variano in intervalli di numeri reali con la potenza del continuo (posizione, velocità, forza, intensità, etc).
Esperimenti che richiamano uno stato quantistico sono (effetto fotoelettrico, spettroscopia, rapporto carica / massa dell’elettrone, Frank-Hertz, etc). Gli stati dei sistemi fisici quantistici sono descritti da valori delle osservabili in intervalli di valori discreti.
L’evoluzione degli stati e delle relative osservabili (e delle misure delle osservabili) nei fenomeni che coinvolgono costituenti macroscopici l’evoluzione degli stati è rigorosamente deterministica e descritta da equazioni differenziali. In MQ l’evoluzione degli stati è anch’essa descritta da equazioni deterministiche ma la misura delle osservabile è genuinamente casuale (collasso della funzione d’onda).
Altra importante distinzione tra fisica classica e la MQ riguarda l’impossibilità in MQ di misurare contemporaneamente e con precisione illimitata le osservabili che ci permetterebbero di individuare con precisione o la posizione o la velocità di una particella elementare. Questo accade anche in fisica classica, dove un ruolo di peso lo hanno le statistiche applicate a una moltitudine di individui, ma con una importante precisazione. Mentre l’impossibilità di conoscere i Appunti di viaggio nella fisica moderna valori delle osservabili di tipo epistemico – ovvero nessuno vieta la possibilità di compiere misure sempre più precise – in MQ, invece, questa possibilità è non epistemica, ovvero è un principio. Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico
- Asso, 2, 3, 4, 5, 6, 7 fante, cavallo, re per quattro semi per un totale di 40 carte. Il punteggio totale da distribuire tra i giocatori è di 120 punti.
- Esistono delle varianti locali di questi tre giochi. Ad esempio ‘La bestia’ si gioca da 4 a 7 giocatori con il medesimo mazzo di 40 carte italiane (piacentine o napoletane o siciliane).
- La contrapposizione di significato classico/stocastico ha una lunga storia nella scienza. In fisica tutti i sistemi fisici macroscopici sono considerati deterministici, ovvero le leggi che li regolano non ammettono risultati causali. Matematicamente questo consegue dalla descrizione dell’evoluzione delle variabili fisiche con equazioni differenziali. Anche nei campi in cui viene applicato il calcolo probabilistico ad esempio nello studio dei gas, la casualità delle singole particelle è ritenuta apparente in quanto dovuta alla nostra ignoranza o insufficienza dei metodi di indagine. nei sistemi stocastici puri come quelli dei microsistemi della MQ, invece la casualità è ritenuta genuina, non epistemica; una legge di natura che traccia l solco appunto, tra il comportamento classico dei macrosistemi della fisica classica (FC) e quello quantistico della MQ.
- Un vettore di stato è un ente definito in uno spazio matematico chiamato spazio vettoriale. La topologia di uno spazio vettoriale (lineare) richiama delle proprietà che in quello euclideo ci permettono di sommare vettori, moltiplicare un vettore per un numero, moltiplicare i vettori tra loro.
INVITI ALLA LETTURA
F. Del Pozzo, R. Dionisio, A. Romice Sistemi. Modelli e simulazione Petrini Editore, Torino 1986
GC Ghirardi Un’occhiata alle carte di Dio. Gli interrogativi che la scienza moderna pone all’uomo ll Saggiatore, Milano 1997
M. Michelini, A. Stefanel Fisica quantistica Una proposta per la didattica Unità di Ricerca in Didattica della Fisica Università di Udine copyright, 2004. Appunti di viaggio nella fisica moderna
5 Spazi euclidei sono spazi vettoriali lineari i cui enti sono vettori soggetti a una topologia molto stretta; nella dimensione con n = 3 i vettori si disegnano nel piano cartesiano e di essi possiamo definire l’angolo, il modulo, il prodotto scalare, vettoriale etc. È lo spazio in cui nella scuola si esercitano gli studenti impegnanti a descrivere le grandezze fisiche della cinematica e della dinamica. Con riferimento alla nota precedente ogni vettore nello spazio euclideo tridimensionale è allora individuato dalla combinazione lineare dei tre versori; ad esempio, con riferimento alla (2.3): , con numeri reali e , versori di modulo = = = 1. Elementi utili per una analisi sistemica si possono trovare al capitolo 3 Spazi matematici del volume ‘Sistemi. Modelli e simulazione’ citato in bibliografia.
6 L’illustrazione delle due funzioni si possono rintracciare nei manuali o testi scolastici di teoria dei sistemi: l’interesse a studiare la teoria dei sistemi per i fisici può essere ricondotto alla pratica della matematica degli spazi vettoriali che sono i medesimi spazi descrittivi del comportamento dei costituenti elementari nella MQ.
7 Nei sistemi elettrici avvolgimenti (accumulatori di energia magnetica) e condensatori (accumulatori di energia elettrica).
8 In un sistema microscopico la variabile s(t), v(t) si dicono coniugate perché riflettono la duplice natura di un costituente elementare di essere onda e corpuscolo. Nell’esperienza della diffrazione attraverso una singola fenditura tanto più stretta sarà la fenditura attraverso la quale l’elettrone passerà per raggiungere o schermo tanto più ampia risulterà la figura di diffrazione. L’esperimento ci porta a concludere che il progressivo confinamento dell’elettrone attorno a un punto adimensionale, spingendo la fenditura ad ampiezze infinitesimali, comporta la perdita della direzione della velocità (vedi il paragrafo 3.7 Il principio di indeterminazione nel capitolo 3 Quanti, eventi aleatori, indeterminismo del libro ‘Un’occhiata alle carte di Dio’ citato in bibliografia).
9 Sostanzialmente un transistor è un interruttore, un componente on/off; Il valore L(ow) o H(igh) di livello di tensione nel bit viene memorizzato e ad essi viene attribuito il valore logico 0 o 1 o viceversa; le porte logiche digitali sono giunzioni PN o NP evoluzione sofisticata delle giunzioni dei Lo stato di un sistema fisico dal mondo classico a quello quantistico primi transistor ottenuti miscelando sapientemente metalli e semiconduttori (tecnologie MOSFET). In elettronica digitale una porta logica standard è il latch SR costituito da circuiti logici NAND o NOR i cui ingressi (I), uscite (U) e transizioni di stato (X) sono descritte da una tabella di verità dove vengono riportati le uscite in corrispondenza alla sequenza di ingressi: (0,0), (1,0), (0,1), (1,1). Un approfondimento del formalismo degli elementi di memoria inquadrati nel generale contesto di studio degli automi sequenziali a stati finiti lo si può rintracciare in numerosi testi scolastici di teoria dei sistemi indirizzati agli studenti degli indirizzi specialistici di elettrotecnica ed elettronica.
10 I numeri immaginari sono numeri reali accompagnati dalla (ad esempio ); i numeri immaginari vengono applicati con molta disinvoltura nelle scienze applicate come l’elettrotecnica e sono la componente del vettore rappresentativa di una grandezza sinusoidale sull’asse delle ordinate, ad esempio , la parte reale viene riportata in ascisse e la parte immaginaria in ordinate del piano cartesiano di Gauss; l’uso dei numeri immaginari è un comodo espediente per tenere separate le due componenti del vettore. Il vettore in MQ associato a una osservabile pone domande intriganti sulla realtà fisica.
11 Le coordinate polari posizionano il vettore di stato in un punto della sfera che richiede le tre coordinate x, y, z e l’angolo.
12 Se invece della polarizzazione fosse stata scelta la posizione di un micro costituente, ad esempio un elettrone, il principio di sovrapposizione lineare, ovvero il significato che viene attribuito al segno ‘+’ ci porterebbe a pensare l’elettrone prima della misura qui, là e altrove contemporaneamente. Il principio di sovrapposizione lineare richiede un approfondimento sul dualismo onda corpuscolo e pertanto si rinvia il lettore ad affrontarlo a parte. Ne vale la pena perché esso conduce al punto più caratteristico del formalismo quantistico: l’entanglement o intreccio o garbuglio.
